concepto y clasificación de los polígonos

Definición

Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Línea poligonal es la figura formada por varios segmentos no pertenecientes a la misma recta. Se considera cerrada cuando su principio y final coinciden.

Elementos generales de un polígono

• LADOS: Son los segmentos que forman el polígono.
• VÉRTICES: Intersección o extremos de los lados.
• DIAGONALES. Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos. Fig.1

Clasificación de los polígonos

• EQUILÁTERO: Si tiene todos sus lados iguales. Fig.2
• EQUIÁNGULO: Si todos sus ángulos son iguales.
• REGULAR ¹. Equilátero y equiángulo.
• REGULAR ESTRELLADO: Se obtiene uniendo según un paso determinado sus vértices.
• CONVEXO: Cuando el polígono queda a un lado de la prolongación de uno de sus lados. Fig.3
• CÓNCAVO: Repartido a ambos lados de la prolongación de alguno de sus lados. Fig.4.

• De acuerdo con el número de lados, los polígonos reciben nombres especiales. El polígono de menor número de lados es el triángulo.
• 
  

  Número de lados	Nombre
  Tres	Triángulo
  Cuatro	Cuadrilátero
  Cinco	Pentágono
  Seis	Hexágono
  Siete	Heptágono
  Ocho	Octágono
  Nueve	Eneágono
  Diez	Decágono
  Once	Endecágono
  Doce	Dodecágono
  Quince	Pentedecágono

  
  

teoremas de ángulos en los polígonos

TEOREMA SOBRE ANGULOS.POLIGONOS

TEOREMA 3.- la suma de los ángulos interiores (si) de un poligono convexo es igual a tantas veces dos ángulos rectos: como lados menos dos tiene el poligono.
Si =180º (n-2)

TEOREMA 4.- la suma de los ángulos exteriores (se) de todo polígono convexo es igual a cuatro ángulos rectos
Se= 360º
TEOREMA 5.- el numero de diagonales que pueden trazarse desde un vérticees igual al numero de lados menos tres 
D = n-3

TEOREMA 6.- si n es el número de lados del polígono, el numero total de diagonales (o), que pueden trazarse desde todos los vértices, esta dado por la formula:
D = n (n-3)
2

El número de triángulos de un polígono es igual al numero de lados del polígono disminuido en dos unidades.
No - 2 

Formulas para calcular un ángulointerior (i) y un ángulo exterior (e)
i = si
n
i = 180º (n-2)
n

e = Se
n
e = 360º
n

problemas y ejercicios de ángulos de polígonos

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- hallar la suma de los ángulosinteriores de un pentágono.
DATOS: FORMULA: SUSTITUCION: 
n = 5 Si = 180º(n-2) SI = 180º (5-2)
si = ?SI = 180º (3)
SI = 540º
2.-¿ cual es elpolígono cuya suma de i es de 1260º?
DATOS: FORMULA: DESPEJE: SUSTITUCION:
Si = 1260º Si = 180º(n -2) SI= 180ºn -360º n= 1260º +360º
N=? Si + 360º = 180 n 180º
N = si +360º n= 9180º
n= 9 el polígono se llama eneágono.

lugares geométricos

Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

 Mediatriz

Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Media trices de un triángulo son las. de cada uno de sus lados. Las tres. concurren en un punto llamado circu- centro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

 Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectríz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.

 Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.

Ecuación de la circunferencia:

Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condición que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.

Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2

teoremas de ángulos dentro y fuera de una circunferencia

Angulo Central:

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente

                      

    

                      
Angulo Inscrito:                               

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados sonsecantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

                                    

Angulo Semiinscrito: 

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.     

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.     

Angulo         Interior:                         

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

                         

Angulo Exterior :    Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

                                          

                           

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.




                   
                      

Ejercicios de ángulos dentro y fuera de la circunferencia

Donde:

δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vértice y el otro que es una cuerda.

γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.

β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.

Ángulo central o del centro en la circunferencia

El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.

En la figura a la derecha, vemos que el ángulo del centro dibujado, con vértice en O, abarca o subtiende el arco FG.

Al respecto, debemos reiterar que “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca”.

En la misma figura de la derecha se dibujó un ángulo inscrito (α = 37,3º) que subtiende o abarca el mismo arco que el ángulo del centro (γ = 74,6º); en dicha situación (y los valores indicados lo confirman), “Cuando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el del centro”.

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 06_2005

Pregunta 10_2005

Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales: uno cóncavo (α = 130,68º) y uno convexo (β = 229,32º) , o los dos iguales, que sumarán 360º.

Los ángulos inscritos (γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º.

Ángulo semiinscrito en la circunferencia

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º) vale la mitad que el ángulo del centro (α = 135º) que abarca el arco AB.

Nótese que en la figura están dados  los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ángulo central así:

,

por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).

Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:

El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) = 112,5º) abarca el otro arco definido por AB.

Ángulo interior en la circunferencia

El ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior , siendo δ y ε los ángulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno AGD:

el ángulo, pues es el ángulo inscrito que abarca el arco AC;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco DB;
entonces el ángulo , por lo tanto,

Ángulos exteriores a la circunferencia

El ángulo exterior ε  tiene el vértice (A) en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes (AB y AC).

El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcos definidos por las dos rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ADB:

el ángulo ,  pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ED;
el ángulo   , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco BC;
el ángulo ,  suplementario de CDB;
por lo tanto, el ángulo

Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:

El ángulo exterior circunscrito α (figura de la izquierda) tiene los dos lados tangentes a la circunferencia; α = 180º — γ, siendo γ el ángulo central BOC definido por las tangentes.

Vamos a comprobarlo:

El cuadrilátero ABOC cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es 360º.

Siendo dos de sus ángulos rectos (β y δ) , resulta que 180º = α + γ,

luego α = 180º — γ.

El ángulo exterior circunscrito γ tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia (figura a la derecha).
El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ABC:

el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco CD;
el ángulo , pues es el ángulo suplementario deδ, ángulo semiinscrito que abarca el arco BC;

el ángulo 
 

teoremas de medias proporcionales

teorema de Euclides 

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos.

Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene queΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Teorema de la altura

La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

l*l=m*n

Teorema de la altura