Ejercicios de ángulos dentro y fuera de la circunferencia

Donde:

δ (delta) = ángulo inscrito (71,47º), con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

α (alfa) = ángulo semiinscrito (41,68º) , cuyo vértice está en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vértice y el otro que es una cuerda.

γ (gama) = ángulo central o del centro (45,42º), con el vértice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.

β (beta) = ángulo interior (47,3º), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vértice situado en el interior de la misma.

Ángulo central o del centro en la circunferencia

El ángulo central o del centro es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.

En la figura a la derecha, vemos que el ángulo del centro dibujado, con vértice en O, abarca o subtiende el arco FG.

Al respecto, debemos reiterar que “El ángulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca”.

En la misma figura de la derecha se dibujó un ángulo inscrito (α = 37,3º) que subtiende o abarca el mismo arco que el ángulo del centro (γ = 74,6º); en dicha situación (y los valores indicados lo confirman), “Cuando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el del centro”.

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 06_2005

Pregunta 10_2005

Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales: uno cóncavo (α = 130,68º) y uno convexo (β = 229,32º) , o los dos iguales, que sumarán 360º.

Los ángulos inscritos (γ = 65,34º y δ = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ángulos del centro mencionados, serán suplementarios, pues sumarán siempre 180º.

Ángulo semiinscrito en la circunferencia

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ángulo semiiscrito (en la figura es δ = 67,5º) vale la mitad que el ángulo del centro (α = 135º) que abarca el arco AB.

Nótese que en la figura están dados  los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ángulo central así:

,

por pertenecer al triángulo isósceles ABC (recordar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º, y que el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales).

Entonces, calculamos el valor del ángulo δ semiinscrito:

El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito (ζ (zeta) = 112,5º) abarca el otro arco definido por AB.

Ángulo interior en la circunferencia

El ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior , siendo δ y ε los ángulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno AGD:

el ángulo, pues es el ángulo inscrito que abarca el arco AC;
el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco DB;
entonces el ángulo , por lo tanto,

Ángulos exteriores a la circunferencia

El ángulo exterior ε  tiene el vértice (A) en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes (AB y AC).

El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcos definidos por las dos rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ADB:

el ángulo ,  pues es el ángulo inscrito que abarca el arco ED;
el ángulo   , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco BC;
el ángulo ,  suplementario de CDB;
por lo tanto, el ángulo

Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:

El ángulo exterior circunscrito α (figura de la izquierda) tiene los dos lados tangentes a la circunferencia; α = 180º — γ, siendo γ el ángulo central BOC definido por las tangentes.

Vamos a comprobarlo:

El cuadrilátero ABOC cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es 360º.

Siendo dos de sus ángulos rectos (β y δ) , resulta que 180º = α + γ,

luego α = 180º — γ.

El ángulo exterior circunscrito γ tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia (figura a la derecha).
El ángulo exterior , siendo α y β los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno ABC:

el ángulo , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco CD;
el ángulo , pues es el ángulo suplementario deδ, ángulo semiinscrito que abarca el arco BC;

el ángulo